Probabilités et statistiques - Spécialité

Les variables aléatoires : Loi de probabilité

Exercice 1 : Déterminer les valeurs prises et la loi de probabilité à partir d'un énoncé (deux tirages sans remise)

Un sac contient 11 jetons indiscernables au toucher : 7 jetons blancs numérotés de 1 à 7 et 4 jetons noirs numérotés de 1 à 4.
On tire simultanément deux jetons de ce sac.

On note \( A \) l'événement « obtenir deux jetons blancs ».
On note \( B \) l'événement « obtenir deux jetons portant des numéros pairs ».

Quelle est la probabilité de l'événement \( A \) ?

Quelle est la probabilité de l'événement \( B \) ?

Calculer \( P(A \cap B) \).

Les événements \( A \) et \( B \) sont-ils indépendants ?

Soit \( X \) la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané.
Soit \( P \), la loi de probabilité de \( X \).

Calculer \( P(X = 0) \).

Calculer \( P(X = 1) \).

Calculer \( P(X = 2) \).

Calculer l'espérance mathématique de \( X \).

Exercice 2 : Déterminer une loi de probabilité à partir d'un énoncé (trois tirages avec remise)

Un sac contient onze cubes : un petit cube noir, quatre gros cubes verts, trois petits cubes marrons, un gros cube marron et deux petits cubes verts. Un enfant prend trois cubes simultanément dans le sac.

On note :

\(A\) : l'évènement d'obtenir trois cubes de couleurs différentes.
\(B\) : l'évènement d'obtenir au plus un petit cube.

Calculer la probabilité de \(A\).
On arrondira la réponse à \(10^{-2}\).

Calculer la probabilité de \(B\).
On arrondira la réponse à \(10^{-2}\).

Soit \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de petits cubes verts tirés par l'enfant.

Donner la loi de probabilité de \(X\) en complétant le tableau suivant.
On donnera les valeurs prises par la variable aléatoire dans l'ordre croissant et on arrondira les réponses à \(10^{-2}\).

Calculer l'espérance de \(X\).
On utilisera les valeurs exactes pour faire le calcul, qu'on arrondira à \(10^{-2}\) au dernier moment.

Exercice 3 : Retrouver une loi aléatoire à partir d'une simulation Python

La fonction simul définie en Python simule une loi de probabilité \( X \), en utilisant une fonction randint qui prend deux entiers \( a\text{, }b \) en paramètres et renvoie un entier aléatoire \( r \) tel que \( a \le r \le b \) .

from random import randint
def simul():
     alea = randint(1, 60)
     if alea <= 29:
          return 1
     if alea >= 35:
          return 2
     return 4

Donner la loi de probabilité de \( X \) en complétant le tableau suivant.
On donnera les valeurs prises par la variable aléatoire dans l'ordre croissant.

Quelle est l'espérance de cette loi de probabilité ?
On donnera la réponse sous la forme d'un entier ou d'une fraction simplifiée.

Exercice 4 : Déterminer P(X=N), P(X≤M) et trouver la valeur d'une probabilité inconnue

On considère la loi de probabilité suivante :

\(x_i\)	\( -10 \)	\( -7 \)	\( -4 \)	\( 4 \)	\( 10 \)
\( P( X = x_i ) \)	\( 0,37 \)	\( 0,13 \)	\( 0,26 \)	\( 0,17 \)	\( p \)

Déterminer la probabilité \( P\left(X = -10 \right) \).
On donnera la réponse uniquement.

Déterminer la probabilité \( P\left(X \leq 4 \right) \).
On donnera la réponse uniquement.

Calculer la valeur de \( p \).

Exercice 5 : Déterminer les valeurs prises et la loi de probabilité à partir d'un énoncé (un seul tirage)

On lance un dé équilibré à six faces. On perd 8 € si le résultat est un nombre supérieur ou égal à 4, on perd 6 € si le résultat est un 2 et sinon on gagne 4 €.
On appelle \( G \) la variable aléatoire égale au gain algébrique en euro obtenu en fin de partie.

Donner les valeurs prises par la variable aléatoire \( G \).
(On donnera la liste séparée par des point-virgules. S'il n'y en a aucun, écrire "Aucun" )

Donner la loi de probabilité de \( G \) en complétant le tableaux suivant.
On donnera les valeurs prises par la variable aléatoire dans l'ordre croissant.

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